Question

18．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AC平分∠DAB，AD與過點C的直線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）連接BE交AC于點F，若$\frac{AF}{CE}$=$\frac{1}{2}$，求cos∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC．只要證明AD∥OC，由AD⊥CD，即可推出OC⊥CD．
（2）如圖2中，連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．由△CDE∽△AEF，推出$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{EC}{AF}$=2，設AE=a，EF=b，則CD=2a，DE=CH=2b，FH=2a-b，由AE∥CH，推出$\frac{AE}{CH}$=$\frac{EF}{FH}$，可得$\frac{a}{2b}$=$\frac{b}{2a-b}$，求出a與b的關系，在Rt△AEF中，求出CF，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：如圖2中，連接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．

∵AB是直徑，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四邊形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵∠DCE=∠DAC，∠D=∠AEF=90°，
∴△CDE∽△AEF，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{EC}{AF}$=2，設AE=a，EF=b，則CD=2a，DE=CH=2b，FH=2a-b，
∵AE∥CH，
∴$\frac{AE}{CH}$=$\frac{EF}{FH}$，
∴$\frac{a}{2b}$=$\frac{b}{2a-b}$，
∴2a²-ab-2b²=0，
∴a=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$b或$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$b（舍棄），
在Rt△AEF中，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{34+2\sqrt{34}}}{4}$b，
∴cos∠CAD=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\frac{1+\sqrt{17}}{4}b}{\frac{\sqrt{34+2\sqrt{34}}}{4}b}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{\sqrt{34+2\sqrt{34}}}$．

點評 本題考查了切線的性質，平行線的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系的應用，解此題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題，題目比較難，有一定的難度．