Question

12．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，點P為CD上一動點，當BP+$\frac{1}{2}$CP最小時，DP=5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．易知PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE，所以當BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB=$\frac{BE′}{CE′}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，設BE′=5$\sqrt{3}$，CE′=3k，則AE′=8-3k，AB=16-6k，BD=16-6k-4=12-6k，根據BC²=BD²+CD²=BE′²+CE′²，列出方程求出k，即可解決問題．

解答 解：如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．

∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4$\sqrt{3}$，
∴PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE，
∴當BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，
∵tan∠ACB=$\frac{BE′}{CE′}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，設BE′=5$\sqrt{3}$，CE′=3k，
∴AE′=8-3k，AB=16-6k，BD=16-6k-4=12-6k，
∴BC²=BD²+CD²=BE′²+CE′²，
∴（12-6k）²+48=9k²+75k²，
整理得k²+3k-4=0，
∴k=1或-4（舍棄），
∴BE′=5$\sqrt{3}$，
∴PB+$\frac{1}{2}$PC的最小值為5$\sqrt{3}$．
故答案為5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查解直角三角形、垂線段最短、直角三角形30度角性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵學會添加輔助線，把問題轉化為垂線段最短，學會利用參數解決問題，所以中考常考題型．