Question

17．已知：拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$m與直線y=x有兩個不同的交點，兩個交點的橫坐標分別是a，b，則m的取值范圍是m＜1，若n=ab-2b²+2b+1，則n的取值范圍是n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$m與直線y=x有兩個不同的交點，則方程x²+$\frac{1}{4}$m=x中的△＞0，解出可得m的取值；由根與系數的關系得：a+b=1，ab=$\frac{1}{4}$m，把n=ab-2b²+2b+1變形后，得：3m=4n-4，求出n的取值．

解答 解：x²+$\frac{1}{4}$m=x，
x²-x+$\frac{1}{4}$m=0，
△=（-1）²-4×1×$\frac{1}{4}$m=1-m＞0，
∴m＜1，
∵兩個交點的橫坐標分別是a，b，
∴a+b=1，ab=$\frac{1}{4}$m，
∴a=1-b，
∴n=ab-2b²+2b+1，
=b（a-2b）+2b+1，
=b（1-b-2b）+2b+1，
=b-3b²+2b+1，
=3b-3b²+1，
=-3b（b-1）+1，
=3ab+1，
=$\frac{3}{4}$m+1，
3m=4n-4
m=$\frac{4n-4}{3}$＜1，
∴n＜$\frac{7}{4}$，
故答案為：m＜1；n＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了根與系數的關系、二次函數的性質．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．