Question

7．如圖，在□ABCD，E為邊BC的中點，F為線段AE上一點，聯結BF并延長交邊AD于點G，過點G作AE的平行線，交射線DC于點H．設$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=x．

（1）當x=1時，求AG：AB的值；
（2）設$\frac{{S}_{△GDH}}{{S}_{△EBA}}$=y，求y關于x的函數關系式；
（3）當DH=3HC時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得：AD∥BC，由平行線分線段成比例定理得：$\frac{BE}{AG}=\frac{EF}{AF}$，由x=1得：$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=1，根據中點E得：AG=$\frac{1}{2}$AB，從而得出AG：AB的值；
（2）假設AB=1，則AD=x，由（1）得：BE=$\frac{x}{2}$，AG=$\frac{1}{2}$，DG=x-$\frac{1}{2}$，證明△GDH∽△EBA，根據面積比等于相似比的平方列式可求得y關于x的函數關系式；
（3）因為H是射線DC上一點，所以分兩種情況：①如圖2，當點H在邊DC上時，根據已知DH=3HC，得$\frac{DH}{AB}=\frac{3}{4}$，再利用△GDH∽△EBA，列比例式可求得x的值；
②如圖3，當H在DC的延長線上時，同理可求得x的值．

解答 解：（1）如圖1，在□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴$\frac{BE}{AG}=\frac{EF}{AF}$，
∵x=1，即$\frac{AD}{AB}=\frac{EF}{AF}$=1，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BE}{AG}$=1，
∴AD=AB，AG=BE，
∵E為BC的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
即AG：AB=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖1，∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EF}{AF}$=x，
∴不妨設AB=1，則AD=x，BE=$\frac{x}{2}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{BE}{AG}=\frac{EF}{AF}=x$，
∴AG=$\frac{1}{2}$，DG=AD-AG=x-$\frac{1}{2}$，
∵GH∥AE，
∴∠DGH=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DGH=∠AEB，
在□ABCD中，∠D=∠ABE，
∴△GDH∽△EBA，
∴$\frac{{S}_{△GDH}}{{S}_{△EBA}}$=（$\frac{DG}{BE}$）²，
∴y=$（\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}）^{2}$，
∴y=$\frac{4{x}^{2}-4x+1}{{x}^{2}}$；
（3）①如圖2，當點H在邊DC上時，
∵DH=3HC，
∴$\frac{DH}{DC}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DH}{AB}=\frac{3}{4}$，
∵△GDH∽△EBA，
∴$\frac{DG}{BE}=\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}$=$\frac{3}{4}$，
 解得：x=$\frac{4}{5}$；
②如圖3，當H在DC的延長線上時，
∵DH=3HC，
∴$\frac{DH}{DC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{3}{2}$，
∵△GDH∽△EBA，
∴$\frac{DG}{BE}=\frac{DH}{AB}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
   解得：x=2，
綜上所述，可知x的值為$\frac{4}{5}$或2．

點評 本題是相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質以及平行線分線段成比例定理，在相似形的綜合題中，如果有平行的已知條件，可以直接根據平行線分線段成比例定理列比例式，不證明相似也可以；本題還利用了相似三角形的性質：相似三角形面積的比等于相似比的平方；注意第三問中采用分類討論的方法，不要漏解．