Question

12．在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC所在的直線上的動點（點D不與B、C重合），過點D作DE∥AC交直線AB于點E，DF∥AB交直線AC于點F．
（1）求證：AF=DE；
（2）若AC=5，DE=6，則DF=1或11．
（3）試探究：D在不同位置時，DE，DF，AC具有怎樣的數量關系，直接寫出結論：
①當點D在線段BC上時，關系是：DE+DF=AC；
②當點D在線段BC延長線上時，關系是：DE-DF=AC；
③當點D在線段CB延長線上時，關系是：DF-DE=AC；
（4）請選擇（3）中你探究獲得的其中一個結論證明之．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形AEDF是平行四邊形，得出對邊相等即可；
（2）分兩種情況討論，由平行四邊形和等腰三角形的性質即可得出結果；
（3）由平行四邊形和等腰三角形的性質即可得出結論；
（4）由平行四邊形和等腰三角形的性質即可得出結論．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AF=DE；    
（2）解：分兩種情況：
①如圖2所示：同（1）得：四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DF=AE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDE，
∴BE=DE=6，
∴DF=AE=BE-AB=6-5=1；
②如圖2所示：同①得：DF=AE，BE=DE=6，
∴DF=AE=6+5=11；
綜上所述：DF的長為1或11；
故答案為：1或11；
（3）①由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF+CF，
∴DE+DF=AC；
故答案為：DE+DF=AC；
②由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF-CF，
∴DE-DF=AC；
故答案為：DE-DF=AC；
③由（1）（2）得：DE=AF，DF=AE，BE=DE，
∵AB=AE-BE，AC=AB，
∴DF-DE=AC；
故答案為：DF-DE=AC；
（4）解：選擇：①；同（1）得：四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DF=AE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴DF=CF，
∵AF+CF=AC，
∴DE+DF=AC．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；證明平行四邊形和等腰三角形是解決問題的關鍵．