Question

9．已知：正方形ABCD的邊長為4，點E為BC邊的中點，點P為AB邊上一動點，聯結PE，過E作EQ⊥PE交邊CD于Q，直線PQ交直線AD于點G．
（1）如圖，當BP=1.5時，求CQ的長；
（2）如圖，當點G在射線AD上時，設BP=x，DG=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于EQ⊥PE，所以易證△PEB∽△EQC，所以$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$，進而求出CQ長度．
（2）過點P作PF⊥CD于點F，易證△QDG∽△QPF，利用相似三角形的性質即可求出y與x的關系式．

解答 解：（1）∵點E為BC邊的中點，
∴BE=CE=2，
∵EQ⊥PE，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEC=∠EQC+∠QEC=90°，
∴∠PEB=∠EQC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△PEB∽△EQC，
∴$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$
∴CQ=$\frac{8}{3}$，
（2）由（1）可知：△PEB∽△EQC，
∴$\frac{PB}{EC}=\frac{BE}{CQ}$
∴CQ=$\frac{4}{x}$，
當CQ=4時，
此時x=1，
∴1≤x≤4，
過點P作PF⊥CD于點F，
∴△QPF∽△QGD，
∴$\frac{PF}{DG}=\frac{QF}{DQ}$
∵CF=PB=x，
∴QF=CQ-CF=$\frac{4}{x}-x$，
DQ=CD-CQ=4-$\frac{4}{x}$
∴$\frac{4}{y}=\frac{\frac{4}{x}-x}{4-\frac{4}{x}}$，
化簡可得：y=$\frac{4（4x-4）}{4-{x}^{2}}$（1≤x≤4）

點評 本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是證明△PEB∽△EQC，利用相似三角形的性質求出CQ的長度，本題屬于中等題型．