Question

4．一塊三角形材料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用這塊材料剪出一個矩形CDEF，其中D、E、F分別在BC、AB、AC上．
（1）若設AE=x，則AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；（用含x的代數式表示）
（2）要使剪出的矩形CDEF的面積最大，點E應選在何處？

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出EF，再利用勾股定理表示出AF即可；
（2）利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BC，進而利用勾股定理表示出AC，由AC-AF表示出CF，根據CF與EF乘積列出S與x的二次函數解析式，利用二次函數性質確定出面積的最大值，以及此時x的值即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AE=x，
∴EF=$\frac{1}{2}$x，
根據勾股定理得：AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
（2）∵四邊形CDEF是矩形，
∴∠AFE=90°，
∵∠A=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，
根據勾股定理得：AC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴CF=AC-AF=6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_矩形CDEF=CF•EF=$\frac{1}{2}$x（6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-6）2+9$\sqrt{3}$，
∴當x=6時，矩形CDEF的面積最大，
即當點E為AB的中點時，矩形CDEF的面積最大．

點評 此題考查了相似三角形的應用，二次函數的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性質，以及矩形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．