Question

12．如圖，四邊形ABCD，CDMF，MFEG都是正方形，BD，AE相交于點H，求tan∠AHB．

Answer 1

分析 設正方形的邊長為1，由勾股定理求得BD=$\sqrt{2}$，證△ADH∽△EBH得$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，即可知BH=$\frac{3}{4}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，作AN⊥BD，有AN=BN=ABcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、NH=BH-BN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，最后由正切函數定義可得．

解答 解：設正方形的邊長為1，
則BD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AD∥BE，
∴△ADH∽△EBH，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{3}{4}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
過點A作AN⊥BD于點N，

則AN=BN=ABcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴NH=BH-BN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠AHB=$\frac{AN}{NH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$=2．

點評 本題主要考查解直角三角形和相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是利用相似三角形的判定與性質及三角函數的定義得出求正切值所需線段的長．