Question

2．已知：如圖，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE．
（1）如圖1試說明：∠ACB=∠CED．
（2）若AC=CE，試求DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據∠EDC=90°，得出∠CED+∠ECD=90°，再根據∠ACE=90°，得出∠ACB+∠ECD=90°，最后根據同角的余角相等，即可得出∠ACB=∠CED；
（2）先判定△ABC≌△CDE，得出DE=BC，AB=CD=4（cm），進而得出BC=BD-CD=10-4=6（cm），根據全等三角形的對應邊相等，即可得出DE=6（cm）．

解答 解：（1）如圖1，∵AB∥DF，∠B=90°，
∴∠EDC=180°-∠ABC=90°，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；

（2）如圖2，∵∠EDC=90°，∠B=90°，
∴∠B=∠EDC，
由（1）可得，∠ACB=∠CED，
在△ABC和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EDC}\\{∠ACB=∠CED}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE，
∴DE=BC，AB=CD=4（cm），
∴BC=BD-CD=10-4=6（cm），
∴DE=6（cm）．

點評 本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形對應邊相等的性質的運用，本題中求證△ABC≌△CDE是解題的關鍵．