Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最小值是4．

Answer 1

分析 利用點A、B、C的坐標可得到AB=AC=a，則AB=AC=AP=a，連接AD交⊙D于P′，利用兩點間的距離公式計算出DA=5，即可得到P′A=4，于是可判斷a的最小值為4．

解答 解：∵點A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0），
∴AB=AC=a，
∵∠BPC=90°，
∴AB=AC=AP=a，
連接AD交⊙D于P′，
DA=$\sqrt{（4-1）^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴P′A=5-1=4，
即⊙D上點到A的最短距離為4，
∴a的最小值為4．
故答案為4．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了坐標與圖形性質．