Question

15．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，P是對角線BD上的一個動點，連接OP，若⊙O的半徑為1，∠A：∠C=1；2，則OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 作輔助線，先根據圓內接四邊形的對角互補求出∠A=60°，∠BCD=120°，從而得出∠BOD=120°，根據同圓的半徑相等和等邊對等角求出∠OBD=∠ODB=30°，利用垂線段最短可得：OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值即為
當CF⊥OB時，CF的長，也就是等邊三角形OBC一邊上的高的長．

解答 解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠A：∠BCD=1；2，
∴∠A=60°，∠BCD=120°，
連接OB、OD，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
由于C的位置不確定，可取特殊位置，取$\widehat{BD}$的中點，
∴∠BOC=∠COD=60°
∵OB=OC
∴△OBC是等邊三角形，
過P作PF⊥OB于F，連接OP、PC、OC，則OP=PC，
∴OP+$\frac{1}{2}$BP=OP+PF=PF+PC，
即當CF⊥OB時取最小值，
∵△OBC是等邊三角形，
∴BC=OB=1，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了圓內接四邊形的性質、垂徑定理、等邊三角形的判定、30°角的直角三角形的性質以及垂線段最短，有難度，找到最短距離的點P的位置是本題的關鍵，同時能利用圓周角和圓心角的關系求三角形各角的度數．