Question

19．如圖，四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)相等的正方形
（1）猜想：∠1+∠2+∠3=90°；
（2）證明你的猜想，提示：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出猜想即可；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，由正方形的性質(zhì)得出∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=1，∠B=90°，EC=2，由勾股定理求出AE=$\sqrt{2}$，證出 $\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，再由公共角∠AEF=∠CEA，得出△AEF∽△CEA，得出對(duì)應(yīng)角相等∠2=∠EAC，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：猜想：∠1∠+2+∠3=90°．
故答案為：90；

（2）證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，
∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=1，∠B=90°，
∴EC=2a，AE=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AE}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$．
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠2=∠EAC，
∵∠3=∠EAC+∠1=45°，
∴∠1∠+2+∠3=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．