Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，PO⊥AB交⊙O于點P，弦PN與AB相交于點M，求證：PM•PN=2PO²．

Answer 1

分析 延長PO交⊙O于點Q，連接NQ，由PQ為直徑且PO⊥AB得∠POM=∠PNQ=90°，根據∠OPM=∠NPQ可證△POM∽△PNQ得$\frac{PM}{PQ}$=$\frac{PO}{PN}$，即PM•PN=PQ•PO=2PO•PO=2PO²．

解答 證明：延長PO交⊙O于點Q，連接NQ，

∵PO⊥AB，
∴∠POM=∠PNQ=90°，
∵∠OPM=∠NPQ，
∴△POM∽△PNQ，
∴$\frac{PM}{PQ}$=$\frac{PO}{PN}$，
∵PQ=2PO，
∴PM•PN=PQ•PO=2PO•PO=2PO²，
即PM•PN=2PO²．

點評 本題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質，根據直徑所對圓周角為直角得出∠POM=∠PNQ=90°，從而證得兩三角形相似是解題的關鍵．