Question

8．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形ABCD的四條邊上，且BE=BF=DG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH，∠A=60°．設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為s與邊AE的關(guān)系為s=-$\sqrt{3}{x}^{2}$+4$\sqrt{3}$x，則菱形邊長(zhǎng)為4．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合等邊三角形的判定與性質(zhì)得出△AEH是等邊三角形，進(jìn)而表示出BE的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答 解：過(guò)點(diǎn)B作BN⊥EF于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
∵BE=BF=DG=DH，
∴AH=AE，EN=NF，
又∵∠A=60°，
∴△AEH是等邊三角形，
∴AE=HE=x，
∵四邊形EFGH的面積為s與邊AE的關(guān)系為s=-$\sqrt{3}{x}^{2}$+4$\sqrt{3}$x，
∴EF=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴NE=$\frac{-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}{2}$，
∵∠AEH=60°，∠HEF=90°，
∴∠FEB=30°，
故cos30°=$\frac{EN}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則BE=-x+4，
故AB=AE+BE=x-x+4=4，
即菱形的邊長(zhǎng)為：4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和矩形面積求法等知識(shí)，正確表示出BE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．