Question

16．如圖，AB為圓O的直徑，點D在圓O上，在梯形ABCD中：
（1）線段AB與線段DC都分別垂直于BC；
（2）AB=2CD，$\widehat{DMB}$是以點C為圓心的圓弧．
請問如圖中陰影部分的面積與圓O的面積之比是多少？

Answer 1

分析 連結BD，設⊙O的半徑為r，則OB=BC=CD=r．先求出梯形ABCD內部空白部分的面積，那么圖中陰影部分的面積=S_梯形ABCD-S_空白，再求出⊙O的面積=πr²，進而得到圖中陰影部分的面積與⊙O的面積之比．

解答 解：如圖，連結BD，設⊙O的半徑為r，則OB=BC=CD=r．
∵梯形ABCD內部空白部分的面積=2（S_扇形DCB-S_△DCB）=2×（$\frac{90π•{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$r²）=（$\frac{1}{2}$π-1）r²，
∴圖中陰影部分的面積=S_梯形ABCD-S_空白=$\frac{1}{2}$（r+2r）•r-（$\frac{1}{2}$π-1）r²=（$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$π）r²，
又∵⊙O的面積=πr²，
∴圖中陰影部分的面積與⊙O的面積之比為$\frac{\frac{5-π}{2}{r}^{2}}{π{r}^{2}}$=$\frac{5-π}{2π}$．

點評 本題考查了扇形面積的計算，準確作出輔助線，求出梯形ABCD內部空白部分的面積是解題的關鍵．