Question

6．P是等邊△ABC內部一點，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，將△ABP逆時針旋轉，使得AB與AC重合，則以PA、PB、PC的長為邊的三角形的三個角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=3：4：2．

Answer 1

分析 將△APB繞A點逆時針旋轉60°得△AP′C，顯然有△AP′C≌△APB，連PP′，則AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等邊三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三邊長分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，這樣可分別求出∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，即可得到答案．

解答 解：如圖，將△APB繞A點逆時針旋轉60°得△AQC，顯然有△AQC≌△APB，連PQ，
∵AQ=AP，∠QAP=60°，
∴△AQP是等邊三角形，
∴PQ=AP，
∵QC=PB，
∴△QCP的三邊長分別為PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100°-60°=40°，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140°-60°=80°，
∠PCQ=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PCQ：∠QPC：∠PQC=3：4：2，
故答案為：3：4：2．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質，熟記旋轉的性質是解題的關鍵．