Question

18．在△ABC中，AD⊥BC，過點A作AE⊥AC且使AE=AC，連接BE，過點A作AF⊥AB，且AB=AF，連接EF交AD于G
（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接CF，求∠ACF的度數；
（2）如圖2，當點E不在CB的延長線上，求證：EG=FG；
（3）當AG=DG，AD⊥EF時，直接寫出$\frac{AE}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據SAS判定△BAE≌△FAC，即可得出∠AEB=∠ACF，再根據AE⊥AC，AE=AC，得出△ACE是等腰直角三角形，即可得到∠ACF的度數；
（2）過F作MN∥AD，交EA、BC延長線于M、N，根據ASA判定△MAF≌△CAB，得到AM=AC，再根據AE=AC，得出AE=AM，最后根據AG∥MF，得到$\frac{GE}{GF}$=$\frac{AE}{AM}$=1，即可得出EG=FG；
（3）先根據AD⊥EF，AE⊥AC，得出∠E=∠CAD，且∠ADC=∠EGA，進而根據AAS判定△ADC≌△EGA，得出AD=EG，再根據AG=DG，可得AG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$EG，最后在Rt△AEG中，得出$\frac{AE}{EG}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即可得到$\frac{AE}{EF}$的值．

解答 解：（1）如圖1，∵AE⊥AC，AF⊥AB，
∴∠CAE=∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠FAC，
在△BAE和△FAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠BAE=∠FAC}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△FAC（SAS），
∴∠AEB=∠ACF，
又∵AE⊥AC，AE=AC，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∴∠ACF=45°；

（2）如圖2，過F作MN∥AD，交EA、BC延長線于M、N，
∵AB⊥AF，AE⊥AC，
∴∠CAE=90°，∠BAF=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAB=90°，
∴∠2=∠CAB，
∵MN∥AD，
∴∠3=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠DAF=∠ABD，
∴∠3=∠ABD，
在△MAF和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠CAB}\\{AF=AB}\\{∠3=∠ABD}\end{array}\right.$，
∴△MAF≌△CAB（ASA），
∴AM=AC，
∵AE=AC，
∴AE=AM，
∵AG∥MF，
∴$\frac{GE}{GF}$=$\frac{AE}{AM}$=1，
∴EG=FG；

（3）如圖3，當AD⊥EF時，∠E+∠EAG=90°，
∵AE⊥AC，
∴∠EAG+∠CAD=90°，
∴∠E=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠EGA=90°，
在△ADC和△EGA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠E}\\{∠ADC=∠EGA}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EGA（AAS），
∴AD=EG，
又∵AG=DG，
∴AG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$EG，
∴Rt△AEG中，$\frac{AE}{EG}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
又∵EG=FG，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質和判定，平行線分線段成比例的性質以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決本題的關鍵是能正確找出全等三角形．解題時注意：在幾何圖形中證明線段相等或已知線段相等的一般思路是：①證明相等線段所在的三角形全等；②利用相等線段的比值為1得出線段相等．