Question

11．已知，∠AOB=90°，點C在射線OA上，CD∥OE．
（1）如圖1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度數；
（2）把“∠AOB=90°”改為“∠AOB=120°”，射線OE沿射線OB平移，得O′E，其他條件不變，（如圖2所示），探究∠OCD、∠BO′E的數量關系；
（3）在（2）的條件下，作PO′⊥OB垂足為O′，與∠OCD的平分線CP交于點P，若∠BO′E=α，請用含α的式子表示∠CPO′（請直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）先根據平行線的性質得到∠AOE的度數，再根據直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數；
（2）如圖2，過O點作OF∥CD，根據平行線的判定和性質可得∠OCD、∠BO′E的數量關系；
（3）根據四邊形內角和為360°，再根據（2）的結論，以及角平分線的定義即可求解．

解答 解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°；
（2）如圖2，過O點作OF∥CD，
∵CD∥OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO′O=180°-∠BO′E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E=360°-（∠OCD+∠BO′E）=120°，
∴∠OCD+∠BO′E=240°；
（3）∵CP是∠OCD的平分線，
∴∠OCP=$\frac{1}{2}$∠OCD，
∴∠CPO′=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-$\frac{1}{2}$∠OCD
=150°-$\frac{1}{2}$（240°-∠BO′E）
=30°+$\frac{1}{2}$α．

點評 此題考查了平行線的判定和性質，直角、周角的定義，角平分線的定義，關鍵是得到∠OCD、∠BO′E的數量關系．