Question

1．已知如圖：射線MN⊥AB于點M，點C從M出發，以1cm/s的速度沿射線MN運動，AM=1，MB=4，設運動時間為ts，①當△ABC為等腰三角形時，求t的值；②當△ABC為直角三角形時，求t的值；③點C在運動的過程中，若△ABC為鈍角三角形，則t的取值范圍是0＜t＜2；若△ABC為銳角三角形，則t的取值范圍是t＞2．

Answer 1

分析 ①分CB=AB、AB=AC和AC=BC三種情況，根據等腰三角形的性質和勾股定理計算即可；
②根據勾股定理列式計算；
③由②的結論結合圖形解答．

解答 解：①當CB=AB時，
在Rt△MCB，BC=5，BM=4，
由勾股定理得：MC=3，
則t=3s；
當AB=AC時，
在Rt△MCA，AM=1，AC=5，
由勾股定理得：MC=$\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
則t=2$\sqrt{6}$s；
當AC=BC時，C在AB的垂直平分線上，與條件不合；
∴當t=3s或2$\sqrt{6}$s時，△ABC為等腰三角形；

②∵由題意∠ACB=90°時，
∴AC²+BC²=AB²，
設CM=x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC²=x²+4²，
在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC²=x²+1²，
∴x²+4²+x²+1²=5²，解得x=2，
∴t=2s；

③∵當t=2時，△ABC為直角三角形，
∴0＜t＜2時，△ABC為鈍角三角形；
t＞2時，△ABC為銳角三角形．
故答案為：0＜t＜2；t＞2．

點評 本題考查的是勾股定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a²+b²=c²，注意分情況討論思想的運用．