Question

10．如圖1，點(diǎn)D位于△ABC邊AC上，已知AB是AD與AC的比例中項(xiàng)．
（1）求證：∠ACB=∠ABD；
（2）現(xiàn)有點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上如圖2，滿足∠EDF=∠A+∠C，當(dāng)AB=4，BC=5，CA=6時(shí)，求證：DE=DF．

Answer 1

分析 （1）證出△ABD∽△ACB，得出對(duì)應(yīng)角相等即可；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD=$\frac{8}{3}$，BD=$\frac{10}{3}$，得出BD=CD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠ACB，證出∠ABD=∠BDC，再證明點(diǎn)B、E、D、F四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出$\widehat{DE}=\widehat{DF}$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB是AD與AC的比例中項(xiàng)．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABD；
（2）證明：∵△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AD}{4}=\frac{BD}{5}=\frac{4}{6}$，
解得：AD=$\frac{8}{3}$，BD=$\frac{10}{3}$，
∴CD=AC-AD=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°-∠ABC，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴點(diǎn)B、E、D、F四點(diǎn)共圓，
∴$\widehat{DE}=\widehat{DF}$，
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，證明四點(diǎn)共圓是解決問題（2）的關(guān)鍵．