Question

18．已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，則k的值為5或4．

Answer 1

分析 先計算判別式的值得到△=1，則可利用求根公式得到方程的解為x₁=k+1，x₂=k，則得到AB和AC的乘為k+1，k，然后根據等腰三角形的性質得到k+1=5或k=5，從而可確定k的值．

解答 解：△=（2k+1）²-4（k²+k）=1，
所以x=$\frac{2k+1±1}{2}$，解得x₁=k+1，x₂=k，
當k+1=5時，解得k=4，此時△ABC是等腰三角形
當k=5時，此時△ABC是等腰三角形，
即k為值為5或4．
故答案為5或4．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．也考查了等腰三角形的性質．