Question

7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3cm，CB=4cm，設點P、Q為AB、CB上動點，它們分別從A、C同時出發向B點勻速移動，移動速度都為1cm/秒，移動時間為t秒（0≤t≤4），在整個移動過程中，
（1）當∠CPQ=90°時，求t的值．
（2）當t為多少時，△CPQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）過P作MP⊥AC與M，作PN⊥CB于N，易得AB=5cm，PM∥BC，利用△APM∽△ACB的相似比可表示出MP=$\frac{4}{5}$t，AM=$\frac{3}{5}$t，則CM=3-$\frac{3}{5}$t，在Rt△PCM中利用勾股定理得到PC²=PM²+MC²=（$\frac{4}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²=t²-$\frac{18}{5}$t+9；又Rt△CPN∽Rt△CQP，得到CP²=CN•CQ=$\frac{4}{5}$t•t，由此可得到關于t的一元二次方程，解方程即可得到t的值；
（2）分三種情況：①CP=CQ時；②CP=PQ時；③CQ=PQ時；進行討論即可求解．

解答 解：（1）過P作MP⊥AC與M，作PN⊥CB于N，如圖，AP=CQ=t，
∵∠ACB=90°，CA=3cm，CB=4cm，
∴AB=5cm，PM∥BC，
∴△APM∽△ACB，
∴MP：BC=AM：AC=AP：AB，
∴MP=$\frac{4}{5}$t，AM=$\frac{3}{5}$t，
∴CM=3-$\frac{3}{5}$t，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+MC²=（$\frac{4}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²=t²-$\frac{18}{5}$t+9，
又∵CN=PM=$\frac{4}{5}$t，
∵∠CPQ=90°，
∴Rt△CPN∽Rt△CQP，
∴CP：CQ=CN：CP，即CP²=CN•CQ，
∴t²-$\frac{18}{5}$t+9=（$\frac{4}{5}$t）•t，整理得：t²-18t+45=0，
∴t₁=3（t₂=15舍去），
∴當∠CPQ=90°時，t的值為3；
（2）①CP=CQ時，t²-$\frac{18}{5}$t+9=t²，t=2.5；
②CP=PQ時，CN=$\frac{1}{2}$CQ，$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{2}$t，t=0（舍）；
③CQ=PQ時，t²=（3-$\frac{3}{5}$t）²+（t-$\frac{4}{5}$t）²，
t₁=2$\sqrt{6}$-3，t₂=2$\sqrt{6}$+3（舍）．
綜上：t=2.5或t=2$\sqrt{6}$-3時，△CPQ是等腰三角形．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了等腰三角形的判定與性質以及勾股定理．注意分類思想的應用．