Question

5．已知二次函數y=ax²+2$\sqrt{3}$x（a＜0）的圖象與x軸交于A（6，0），頂點為B，C為線段AB上一點，BC=2，D為x軸上一動點．若BD=OC，則D的坐標為D（2，0）或（4，0）．

Answer 1

分析 把A（6，0）代入y=ax²+2$\sqrt{3}$x得0=6²a+2$\sqrt{3}$×6，得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，根據拋物線的頂點坐標公式得到B（3，3$\sqrt{3}$），根據兩點間的距離公式得到AB=$\sqrt{（6-3）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，過B作BE⊥OA于E，CF⊥OA與F，根據相似三角形的性質得到AF=2，CF=2$\sqrt{3}$，根據兩點間的距離公式得到OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，根據BD=OC，列方程即可得到結論．

解答 解：把A（6，0）代入y=ax²+2$\sqrt{3}$x得0=6²a+2$\sqrt{3}$×6，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
∵頂點為B，
∴B（3，3$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{（6-3）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∵BC=2，
∴AC=4，
過B作BE⊥OA于E，CF⊥OA與F，
∴CF∥BE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{CF}{BE}$，
∴AF=2，CF=2$\sqrt{3}$，
∴OF=4，
∴OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵BD=OC，
∴BD=2$\sqrt{7}$，
設D（x，0），
∴BD=$\sqrt{（3-x）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴x₁=2，x₂=4，
∴D（2，0）或（4，0）．
故答案為：D（2，0）或（4，0）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，相似三角形的判定和性質，勾股定理，待定系數法求函數的解析式，正確的作出輔助線是解題的關鍵．