Question

19．兩張寬度均為4的矩形紙片按如圖所示方式放置
（1）如圖①，求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）如圖②，點(diǎn)P在BC上，PF⊥AD于F，若S_{四邊形ABCD}=16$\sqrt{2}$，PB=2，i．求∠BAD的度數(shù)；ii．求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，構(gòu)造全等三角形，得出AD=CD，再根據(jù)AB∥CD，AD∥BC，得到四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形ABCD是菱形；
（2）①先根據(jù)菱形的面積求得菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)sin∠DAE的值，求得∠BAD的度數(shù)；②根據(jù)CP=4$\sqrt{2}$-2，以及∠PCG=∠BAD=45°，求得PG=4$\sqrt{2}$-2，再根據(jù)FG=PF-PG=6-4$\sqrt{2}$，以及∠CDF=45°=∠DGF，即可得到DF=FG=6-4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，則∠AED=∠CQD=90°，
∵矩形紙片寬度均為4，
∴DE=DQ，
又∵∠CDE=∠ADQ=90°，
∴∠ADE=∠CDQ，
在△ADE和△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDQ}\\{DE=DQ}\\{∠AED=∠CQD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDQ（ASA），
∴AD=CD，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）①如圖1，∵S_{四邊形ABCD}=16$\sqrt{2}$，
∴AB×DE=16$\sqrt{2}$，即AB×4=16$\sqrt{2}$，
∴AB=4$\sqrt{2}$=AD，
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAD=45°；

②如圖2，∵菱形ABCD中，AB=BC=4$\sqrt{2}$，而PB=2，
∴CP=4$\sqrt{2}$-2，
又∵PF⊥AD，AD∥BC，
∴PF⊥BC，
又∵∠PCG=∠BAD=45°，
∴PG=4$\sqrt{2}$-2，
∴FG=PF-PG=4-（4$\sqrt{2}$-2）=6-4$\sqrt{2}$，
又∵∠CDF=45°=∠DGF，
∴DF=FG=6-4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．解題時(shí)注意：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．