Question

14．如圖，在△ABC中，AB=7，BC=4$\sqrt{2}$，∠B=45°，動點P、Q同時出發，點P沿A-C-B運動，在邊AC的速度為每秒1個單位長度，在邊CB的速度為每秒$\sqrt{2}$個單位長度；點Q沿B-A-B以每秒2個單位長度的速度運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也停止運動，在運動過程中，過點P作AB的垂線與AB交于點D，以PD為邊向由作正方形PDEF；過點Q作AB的垂線l．設正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位），運動時間為t（s）．
（1）當點P運動點C時，PD的長度為4．
（2）求點D在直線l上時t的值．
（3）求y與t之間的函數關系式．
（4）直接寫出在運動過程中直線1將圖形△ABC的面積分為9：16兩部分時t的值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PD垂直AB，垂足為D，由題意可知，△PDB為等腰直角三角形，從而可求得PD的長；
（2）先求得AD的長，然后依據勾股定理可求得AC的長，由銳角三角函數的定義AD=$\frac{3}{5}$t，當點Q由A到B時．AQ=2（t-3.5），然后由AQ=AD列方程求解即可；如圖2所示：當點Q由B到A時，AP=t，則AD=$\frac{3}{5}$t，BQ=2t，由AD+BQ=7列方程求解即可；
（3）如圖4所示：可分為正方形全部在△ABC的內部、正方形的一部分在△ABC內部、正方形的一半在△ABC的內部三種情況進行計算；
（4）分兩種情形①如圖7中，當△BQH的面積=$\frac{9}{25}$•S_△ABC時．②如圖8中，當△AQH的面積=$\frac{9}{25}$•S_△ABC時，分別計算即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°．
又∵∠DBP=45°．
∴PD=BD=BC×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4 $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4．
故答案為：4．

（2）如圖1所示：∵AB=7，BD=4，
∴AD=3．
∴AC=5．
∴sin∠A=$\frac{4}{5}$，cos∠A=$\frac{3}{5}$．
如圖2所示：當點P在AC上時，AP=t，則PD=$\frac{4}{5}$t，AD=$\frac{3}{5}$t，BQ=2t．

∵AD+BQ=7，
∴$\frac{3}{5}$t+2t=7．
解得：t=$\frac{35}{13}$．
如圖3所示：當點Q由A到B時．AD=$\frac{3}{5}$t，AQ=2（t-3.5）．

根據題意得：$\frac{3}{5}$t=2（t-3.5）．
解得t=5．
綜上所述，當t=$\frac{35}{13}$或t=5時，點D在直線l上．

（3）如圖4所示：

∵PD=$\frac{4}{5}$t，
∴y=DP²=（ $\frac{4}{5}$t）²=$\frac{16}{25}$t²．
當點F恰好在BC上時．EF=BB=$\frac{4}{5}$t．
∵AD+DE+EB=7，
∴$\frac{3}{5}$t+$\frac{4}{5}$t+$\frac{4}{5}$t=7．
解得：t=$\frac{35}{11}$．
∴當0＜t≤$\frac{35}{11}$時，S=$\frac{16}{25}$t²．
當 $\frac{35}{11}$＜t≤5時，如圖5所示．

∵AQ=$\frac{3}{5}$t，DE=PD=$\frac{4}{5}$t，
∴EB=7-$\frac{7}{5}$t．
∵∠GEB=90°，∠B=45°，
∴EG=EB=7-$\frac{7}{5}$t．
∴FG=FE-GE=$\frac{11}{5}$t-7．
∴y=PD²-$\frac{1}{2}$FH•FG=-$\frac{89}{50}$t²+$\frac{77}{5}$t-$\frac{49}{2}$．
當5＜t≤7時，如圖6所示．

∵AD=AC×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CP=3+（t-5）=t-2，
∴DB=7-（t-2）=9-t．
∴y=$\frac{1}{2}$（9-t）²=$\frac{1}{2}$t²-9t+$\frac{81}{2}$．
綜上所述，y與t的關系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{25}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{35}{11}）}\\{-\frac{89}{50}{t}^{2}+\frac{77}{5}t-\frac{49}{2}}&{（\frac{35}{11}＜t≤5）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-9t+\frac{81}{2}}&{（5＜t≤7）}\end{array}\right.$．

（4）①如圖7中，當△BQH的面積=$\frac{9}{25}$•S_△ABC時，$\frac{1}{2}$BQ²=$\frac{9}{25}$×14，BQ=$\frac{6\sqrt{7}}{5}$，∴t=$\frac{3\sqrt{7}}{5}$或7-$\frac{3\sqrt{7}}{5}$時，直線1將△ABC的面積分為9：16兩部分．

②如圖8中，當△AQH的面積=$\frac{9}{25}$•S_△ABC時，$\frac{1}{2}$•AQ•$\frac{4}{3}$AQ=$\frac{9}{25}$×14，AQ=$\frac{3}{5}$$\sqrt{21}$，∴t=$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$或7-$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$時，直線1將△ABC的面積分為9：16兩部分

綜上所述，t=$\frac{3\sqrt{7}}{5}$s或（7-$\frac{3\sqrt{7}}{5}$）s或$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$s或（7-$\frac{3}{10}$$\sqrt{21}$）s時，直線1將△ABC的面積分為9：16兩部分．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了正方形的性質、等腰直角三角形的性質，特殊銳角三角函數值，銳角三角函數的定義，根據題意畫出圖形，并用含t的式子表示相關線段的長度是解題的關鍵．