Question

6．如圖1，在正方形ABCD內作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．

（1）如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．求證：△AGE≌△AFE；
（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請探究并猜想：線段BM，MN，ND之間有什么數量關系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下來在證明∠GAE=∠FAE，然后依據SAS證明△GAE≌△FAE即可；
（2）將△ABM逆時針旋轉90°得△ADM′．在△NM′D中依據勾股定理可證明NM′²=ND²+DM′²，接下來證明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′證明即可．

解答 解：（1）由旋轉的性質可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE（SAS）；
（2）如圖所示：將△ABM逆時針旋轉90°得△ADM′．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
由旋轉的性質可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．
∴∠NDM′=90°．
∴NM′²=ND²+DM′²．
∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠FAM′=45°．
在△AMN和△ANM′中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM′}\\{∠MAN=M′AN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△ANM′（SAS）．
∴MN=NM′．
又∵BM=DM′，
∴MN²=ND²+BM²．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了旋轉的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理的應用，正方形的性質，依據旋轉的性質構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．