Question

15．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACE的平分線相交于點D．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D度數(shù)．
（2）由第（1）小題的計算，發(fā)現(xiàn)∠A和∠D有什么關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，易求∠A和∠D度數(shù)．
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出∠D的等式，再與∠A比較即可解答．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵BD為∠ABC的平分線，CD為∠ACE的平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-30°-40°-70°=40°，
∴∠A=80°，∠D=40°．

（2）通過（1）的計算，得到∠A=2∠D，
理由如下：∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE-∠DBC），∠D=∠DCE-∠DBC，
∴∠A=2∠D．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)的綜合運用，解題時注意：三角形內(nèi)角和等于180°．