Question

4．已知三角形的三邊為3、4、5，則該三角形的外接圓半徑為2.5，內切圓面積為π．

Answer 1

分析 先根據勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，根據其外接圓的半徑等于斜邊的一半即可求得三角形的外接圓半徑；求內切圓的半徑可設△ABC內切圓的半徑為R，切點分別為D、E、F，再根據題意畫出圖形，先根據正方形的判定定理判斷出四邊形ODCE是正方形，再根據切線長定理即可得到關于R的一元一次方程，求出R的值，即可求得內切圓面積．

解答 解：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∵3²+4²=5²，即AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
根據直角三角形的外接圓的半徑是斜邊的一半，則其外接圓的半徑是2.5．
設△ABC內切圓的半徑為R，切點分別為D、E、F，如圖所示，
∵CD=CE，BE=BF，AF=AD，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴四邊形ODCE是正方形，即CD=CE=R，
∴AC-CD=AB-BF，即3-R=5-BF①
BC-CE=AB-AF，即4-R=BF②，
①②聯立得，R=1，
∴內切圓面積為π；
故答案為：2.5，π．

點評 本題考查的是三角形的內切圓與內心，外接圓和外心，涉及到勾股定理的逆定理、正方形的判定與性質、切線長定理，涉及面較廣，難度適中．