Question

19．如圖，點A（a，a+5）和點B（6，a+1）都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上．
（1）求k的值；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由點A、B的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于a的一元二次方程，解之即可得出a值，將其代入k=a（a+5）中即可求出k值；
（2）根據a的值可找出點A、B的坐標，根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AB的解析式，再根據一次函數圖象上點的坐標特征即可找出點C的坐標，根據三角形的面積結合點A、B的橫坐標即可求出△AOB的面積．

解答 解：（1）∵點A（a，a+5）和點B（6，a+1）都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上，
∴k=a（a+5）=6（a+1），整理得：a²-a-6=（a+2）（a-3）=0，
解得：a=-2或a=3（舍去），
∴k=a（a+5）=-2×（-2+5）=-6．
（2）∵a=-2，
∴A（-2，3），B（6，-1）．
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（-2，3）、B（6，-1）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{6k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
設直線AB與y軸交于點C，則點C的坐標為（0，2），
∴OC=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×2×[6-（-2）]=8．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、因式分解法解一元二次方程、反比例函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征找出關于a的一元二次方程；（2）根據點A、B的坐標利用待定系數法求出直線AB的解析式．