Question

20．如圖，四邊形ABCD，AD與BC不平行，AB=CD．AC，BD為四邊形ABCD的對角線．E，F，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點．
下列結論：①EG⊥FH；
②四邊形EFGH是矩形；
③HF平分∠EHG；
④EG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）；
⑤四邊形EFGH是菱形．
其中正確的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 先根據三角形中位線定理，得出EF=FG=GH=HE，進而得到四邊形EFGH是菱形，據此可判斷結論是否正確，最后取AB的中點P，連接PE，PG，根據三角形三邊關系以及三角形中位線定理，即可得出EG＞$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$AD，即EG＞$\frac{1}{2}$（BC-AD）．

解答 解：∵E，F分別是BD，BC的中點，
∴EF是△BCD的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD，
同理可得，GH=$\frac{1}{2}$CD，FG=$\frac{1}{2}$AB，EH=$\frac{1}{2}$AB，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，故⑤正確，②錯誤，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①、③正確，
如圖所示，取AB的中點P，連接PE，PG，
∵E是BD的中點，G是AC的中點，
∴PE是△ABD的中位線，PG是△ABC的中位線，
∴PE=$\frac{1}{2}$AD，PG=$\frac{1}{2}$BC，PE∥AD，PG∥BC，
∵AD與BC不平行，
∴PE與PG不平行，
∴△PEG中，EG＞PG-PE，
∴EG＞$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$AD，即EG＞$\frac{1}{2}$（BC-AD），故④錯誤．
綜上所述，正確的有①③⑤．
故選：C．

點評 本題主要考查了中點四邊形，三角形三邊關系以及三角形中位線定理的運用，解題時注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．