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9.如圖,拋物線y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A(-1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

分析 (1)利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式;
(2)以CD為腰的等腰三角形有三個(gè):①②以D為圓心,以CD為半徑畫弧交對(duì)稱軸于P1、P2,③以C為圓心,以CD為半徑畫弧,交對(duì)稱軸于P3,分別求出這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)先根據(jù)對(duì)稱性求點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),再求直線BC的解析式,設(shè)出點(diǎn)E和F的坐標(biāo),表示EF的長;則四邊形BDCF的面積等于兩個(gè)三角形面積的和,其中△BDC是定值,△BFC的面積=鉛直高度與水平寬度的積,代入面積公式可求得S的解析式,求最值即可.

解答 解:(1)把A(-1,0),C(0,2)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+n中得:
$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}-m+n}\\{2=n}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$,
∴拋物線的表達(dá)式為:$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$;
(2)$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$=-$\frac{1}{2}$(x-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{25}{8}$;
∴D($\frac{3}{2}$,0),
在Rt△OCD中,OC=2,OD=$\frac{3}{2}$,
由勾股定理得:CD=$\sqrt{{2}^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}$=$\frac{5}{2}$,
①當(dāng)CD=DP1時(shí),△PCD是等腰三角形,
∴P1($\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$),
②當(dāng)CD=DP2時(shí),△PCD是等腰三角形,
∴P2($\frac{3}{2}$,-$\frac{5}{2}$),
③當(dāng)CD=CP3時(shí),△PCD是等腰三角形,
過C作CE⊥DP1于E,
∵C(0,2),
∴DE=OC=2,
∵CD=CP3
∴DE=P3E=2,
∴P3($\frac{3}{2}$,4),
綜上所述,P點(diǎn)的坐標(biāo)為:P1($\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$),P2($\frac{3}{2}$,-$\frac{5}{2}$),P3($\frac{3}{2}$,4);
(3)如圖2,
∵A(-1,0),對(duì)稱軸是:x=$\frac{3}{2}$,
∴B(4,0),
設(shè)BC的解析式為:y=kx+b,
把B(4,0),C(0,2)代入得:$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴BC的解析式為:y=-$\frac{1}{2}$x+2,
設(shè)E$(m,-\frac{1}{2}m+2)$,F(xiàn)($m,-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2)$,
∴EF=-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-(-$\frac{1}{2}$m+2)=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m,
∴S四邊形BDCF=S△BCD+S△BFC=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$(-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m)×4,
S=-m2+4m+2.5,
=-(m-2)2+6.5(0<m<4),
當(dāng)m=2時(shí),-$\frac{1}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$×2+2=1,
∴當(dāng)m=2時(shí),四邊形CDBF的面積最大,最大為6.5,此時(shí)E(2,1).

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,第二問構(gòu)建等腰三角形時(shí)采用分類討論的思想,但要注意是構(gòu)建以CD為腰的等腰三角形;在第三問中,確定四邊形面積的最大值時(shí),運(yùn)用面積和求四邊形的面積,同時(shí)還利用了函數(shù)的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo),這在函數(shù)題中經(jīng)常運(yùn)用,要熟練掌握.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)求出點(diǎn)B 的坐標(biāo),并直接寫出當(dāng)y1≥y2時(shí)x 的取值范圍;
(3)設(shè)s=y1+y2,t=y1-y2,若n≤x≤m 時(shí),s 隨著x 的增大而增大,且t 也隨著x 的增大而增大,求n 的最小值和m 的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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