Question

9．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式；
（2）以CD為腰的等腰三角形有三個(gè)：①②以D為圓心，以CD為半徑畫弧交對(duì)稱軸于P₁、P₂，③以C為圓心，以CD為半徑畫弧，交對(duì)稱軸于P₃，分別求出這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)對(duì)稱性求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），再求直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，表示EF的長；則四邊形BDCF的面積等于兩個(gè)三角形面積的和，其中△BDC是定值，△BFC的面積=鉛直高度與水平寬度的積，代入面積公式可求得S的解析式，求最值即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}-m+n}\\{2=n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為：$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$；
（2）$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$；
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
在Rt△OCD中，OC=2，OD=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
①當(dāng)CD=DP₁時(shí)，△PCD是等腰三角形，
∴P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
②當(dāng)CD=DP₂時(shí)，△PCD是等腰三角形，
∴P₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
③當(dāng)CD=CP₃時(shí)，△PCD是等腰三角形，
過C作CE⊥DP₁于E，
∵C（0，2），
∴DE=OC=2，
∵CD=CP₃，
∴DE=P₃E=2，
∴P₃（$\frac{3}{2}$，4），
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，4）；
（3）如圖2，
∵A（-1，0），對(duì)稱軸是：x=$\frac{3}{2}$，
∴B（4，0），
設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)E$（m，-\frac{1}{2}m+2）$，F(xiàn)（$m，-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）$，
∴EF=-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m，
∴S_{四邊形BDCF}=S_△BCD+S_△BFC=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m）×4，
S=-m²+4m+2.5，
=-（m-2）²+6.5（0＜m＜4），
當(dāng)m=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$×2+2=1，
∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，最大為6.5，此時(shí)E（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，第二問構(gòu)建等腰三角形時(shí)采用分類討論的思想，但要注意是構(gòu)建以CD為腰的等腰三角形；在第三問中，確定四邊形面積的最大值時(shí)，運(yùn)用面積和求四邊形的面積，同時(shí)還利用了函數(shù)的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，這在函數(shù)題中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．