Question

17．已知一次函數y₁=x+b 的圖象與二次函數y₂=a（x²+bx+3）（a≠0，a，b 為常數）的圖象交于A、B 兩點，且點A 的坐標為（0，3）
（1）求出a，b 的值；
（2）求出點B 的坐標，并直接寫出當y₁≥y₂時x 的取值范圍；
（3）設s=y₁+y₂，t=y₁-y₂，若n≤x≤m 時，s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大，求n 的最小值和m 的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3）代入y₁和y₂中可求得a、b的值；
（2）列方程組，解出即可得出點B的坐標，畫圖象，根據圖象得出當y₁≥y₂時x 的取值范圍；
（3）分別求出兩函數s、t的解析式，并配方成頂點式，寫出當s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大的x的取值，與n≤x≤m相對應得出結論．

解答 解：（1）把A（0，3）代入y₁=x+b中得：b=3，
∴y₁=x+3，y₂=a（x²+3x+3），
把A（0，3）代入y₂=a（x²+3x+3）中得：3a=3，a=1，
∴a=1，b=3；                                    
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+3x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（-2，1），
如圖所示，當y₁≥y₂時x 的取值范圍是：-2≤x≤0；                       
（3）s=y₁+y₂=x+3+x²+3x+3=x²+4x+6=（x+2）²+2，
∵拋物線開口向上，
∴當x≥-2時，s 隨著x 的增大而增大，
t=y₁-y₂=x+3-（x²+3x+3）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵拋物線開口向下，
∴當x≤-1時，t隨著x 的增大而增大，
∴當-2≤x≤-1時，s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大，
∵n≤x≤m，s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大，
∴n 的最小值-2，m 的最大值-1．

點評 本題考查了利用待定系數法求函數的解析式，明確二次函數的增減性與拋物線的對稱軸有關，因此要把二次函數配方成頂點式后寫出它的對稱軸；本題還利用了數形結合的思想解決了：當y₁≥y₂時x 的取值范圍；此類題有難度，要熟練掌握二次函數的圖象的性質．