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17.已知一次函數y1=x+b 的圖象與二次函數y2=a(x2+bx+3)(a≠0,a,b 為常數)的圖象交于A、B 兩點,且點A 的坐標為(0,3)
(1)求出a,b 的值;
(2)求出點B 的坐標,并直接寫出當y1≥y2時x 的取值范圍;
(3)設s=y1+y2,t=y1-y2,若n≤x≤m 時,s 隨著x 的增大而增大,且t 也隨著x 的增大而增大,求n 的最小值和m 的最大值.

分析 (1)把A(0,3)代入y1和y2中可求得a、b的值;
(2)列方程組,解出即可得出點B的坐標,畫圖象,根據圖象得出當y1≥y2時x 的取值范圍;
(3)分別求出兩函數s、t的解析式,并配方成頂點式,寫出當s 隨著x 的增大而增大,且t 也隨著x 的增大而增大的x的取值,與n≤x≤m相對應得出結論.

解答 解:(1)把A(0,3)代入y1=x+b中得:b=3,
∴y1=x+3,y2=a(x2+3x+3),
把A(0,3)代入y2=a(x2+3x+3)中得:3a=3,a=1,
∴a=1,b=3;                                    
(2)由題意得:$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+3x+3}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$,
∴B(-2,1),
如圖所示,當y1≥y2時x 的取值范圍是:-2≤x≤0;                       
(3)s=y1+y2=x+3+x2+3x+3=x2+4x+6=(x+2)2+2,
∵拋物線開口向上,
∴當x≥-2時,s 隨著x 的增大而增大,
t=y1-y2=x+3-(x2+3x+3)=-x2-2x=-(x+1)2+1,
∵拋物線開口向下,
∴當x≤-1時,t隨著x 的增大而增大,
∴當-2≤x≤-1時,s 隨著x 的增大而增大,且t 也隨著x 的增大而增大,
∵n≤x≤m,s 隨著x 的增大而增大,且t 也隨著x 的增大而增大,
∴n 的最小值-2,m 的最大值-1.

點評 本題考查了利用待定系數法求函數的解析式,明確二次函數的增減性與拋物線的對稱軸有關,因此要把二次函數配方成頂點式后寫出它的對稱軸;本題還利用了數形結合的思想解決了:當y1≥y2時x 的取值范圍;此類題有難度,要熟練掌握二次函數的圖象的性質.

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(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

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6.如圖,在矩形ABCD中,AB=$\sqrt{3}$AD,點P在線段AB上,滿足PB=PD,點M在射線CD上,點C關于直線BM的對稱點為點C′,連接C′B、C′M,射線MC′與射線DP交于點N.
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7.探索新知:
如圖1,射線OC在∠AOB的內部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.
(1)一個角的平分線是這個角的“巧分線”;(填“是”或“不是”)
(2)如圖2,若∠MPN=α,且射線PQ是∠MPN的“巧分線”,則∠MPQ=$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α;(用含α的代數式表示出所有可能的結果)
深入研究:
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(4)若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉,并與PQ同時停止,請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值.

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