Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（0＜t＜6），試嘗試探究下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于8cm²；
（2）求證：四邊形PBQD面積為定值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PDQ是等腰三角形．寫出探索過程；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PDQ是直角三角形，只需求出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意表示出AP，BQ，再由AB-AP表示出PB，進(jìn)而表示出三角形PBQ面積，根據(jù)已知面積求t的值即可；
（2）四邊形PBOQ面積=矩形ABCD面積-△APD面積-△CQD面積，化簡(jiǎn)得到結(jié)果為常數(shù)，即可得證；
（3）分三種情況考慮：當(dāng)DP=DQ；DP=PQ；DQ=PQ，利用勾股定理求出相應(yīng)t的值即可；
（4）若△PDQ是直角三角形，分三種情況考慮：當(dāng)∠PQD=90°時(shí)；當(dāng)∠PDQ=90°時(shí)；當(dāng)∠DPQ=90°時(shí)，分別利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．

解答 （1）解：由題意得：AP=t，BQ=2t，則有PB=AB-AP=6-t，
可得△PBQ的面積S=$\frac{1}{2}$PB•BQ=$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，
解得：t=2或t=4，
則當(dāng)t=2或t=4時(shí)，△PBQ的面積等于8cm²；
（2）證明：∵S_{四邊形PBQD}=6×12-$\frac{1}{2}$•t•12-$\frac{1}{2}$（12-2t）•6=36，
∴四邊形PBQD的面積始終等于36，為定值；
（3）解：分三種情況考慮：
當(dāng)DP=DQ時(shí)，由題意得：12²+t²=6²+（12-2t）²，
解得：t₁=8+2$\sqrt{13}$（舍去），t₂=8-2$\sqrt{13}$；
當(dāng)DP=PQ時(shí)，由題意得12²+t²=（6-t）²+（2t）²，
解得：t₁=$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$（舍去）；
當(dāng)DQ=PQ時(shí)，由題意得6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²，
解得：t₁=-6$\sqrt{13}$-18（舍去），t₂=6$\sqrt{13}$-18，
綜上所述，當(dāng)t為8-2$\sqrt{13}$或6$\sqrt{13}$-18時(shí)，△PDQ是等腰三角形；
（4）若△PDQ是直角三角形，分三種情況考慮：
當(dāng)∠PQD=90°時(shí)，則有PD²=PQ²+DQ²，即12²+t²=（6-t）²+（2t）²+6²+（12-2t）²，
整理得：2t²-15t+18=0，即（2t-3）（t-6）=0，
解得：t=$\frac{3}{2}$或t=6（舍去）；
當(dāng)∠PDQ=90°時(shí)，PQ²=PD²+DQ²，即（6-t）²+（2t）²=12²+t²+6²+（12-2t）²，
整理得：36t=288，
解得：t=8（舍去）；
當(dāng)∠DPQ=90°時(shí)，DQ²=PQ²+PD²，即6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²+12²+t²，
整理得：t（t+18）=0，
解得：t=0（舍去）或t=-18（舍去），
綜上，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，△PDQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：三角形、四邊形的面積，勾股定理，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．