Question

7．觀察下列各式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
   （1）根據(jù)以上式子填空：
①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；  ②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整數(shù)）
（2）已知|x-1|+（xy-2）²=0，根據(jù)以上式子及你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：
$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+$\frac{1}{（x+2）（y+2）}$+…+$\frac{1}{{（{x+2010}）（{y+2010}）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差可得；
（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x=1、y=2，將其代入到原式，根據(jù)（1）中規(guī)律裂項法求解可得．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，
∴①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案為：①$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；②$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）∵|x-1|+（xy-2）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{xy-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
則原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2011×2012}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2012}$
=1-$\frac{1}{2012}$
=$\frac{2011}{2012}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差是解題的關(guān)鍵．