Question

3．已知數軸上兩點A、B對應的數分別為-1，3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x．
（1）若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數；
（2）數軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值．若不存在，請說明理由？
（3）當點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？

Answer 1

分析 （1）根據點P到點A、點B的距離相等，結合數軸可得答案；
（2）此題要分兩種情況：①當P在AB左側時，②當P在AB右側時，然后再列出方程求解即可；
（3）點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢．故P點總位于A點右側，B可能追上并超過A．P到A、B的距離相等，應分兩種情況討論．

解答 解：（1）如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA．

依題意得3-x=x-（-1），
解得x=1；
（2）由AB=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側，或B點右側．
①P在點A左側，PA=-1-x，PB=3-x，
依題意得（-1-x）+（3-x）=5，
解得  x=-1.5；
②P在點B右側，PA=x-（-1）=x+1，PB=x-3，
依題意得（x+1）+（x-3）=5，
解得x=3.5；

（3）設運動t分鐘，此時P對應的數為-t，B對應的數為3-20t，A對應的數為-1-5t．
①B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點．B在P的右側，A在P的左側．
PA=-t-（-1-5t）=1+4t，PB=3-20t-（-t）=3-19t，
依題意有1+4t=3-19t，
解得 t=$\frac{2}{23}$；
②B追上A時，A、B重合，此時PA=PB．A、B表示同一個數．
依題意有-1-5t=3-20t，
解得t=$\frac{4}{15}$．
即運動$\frac{2}{23}$或$\frac{4}{15}$分鐘時，P到A、B的距離相等．

點評 此題主要考查了一元一次方程的應用，以及數軸，關鍵是理解題意，表示出兩點之間的距離，利用數形結合法列出方程．