Question

8．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD⊥AB于點D．過C點的切線交AB的延長線于點P，若BP=1，CP=$\sqrt{3}$．若M為AC上一動點，則OM+DM的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 作O關(guān)于AC的對稱點E，連接ED交AC于M，此時OM+DM為最小；作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先利用勾股定理求出圓的半徑為1，再利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得：△OCB是等邊三角形，則∠COB=60°，得出∠A=30°，依次求出各邊的長，最后在直角△EFD中，利用勾股定理求出DE的長，就是OM+DM的最小值．

解答 解：連接OC，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OB=r，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
由勾股定理得：OC²+PC²=OP²，
∴${r}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}=（r+1）^{2}$，
∴r=1，
連接BC，作O關(guān)于AC的對稱點E，交AC于N，連接DE交AC于M，過E作EF⊥AB于F，連接OM，
此時OM+DM為最小，則AC是OE的中垂線，
∴OM=EM，
∴OM+DM=EM+DM=DE，
在Rt△OCP中，OB=BP=1，
∴BC=$\frac{1}{2}$OP=1，
∴△OCB是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
在Rt△ANO中，ON=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴EN=ON=$\frac{1}{2}$，
∴OE=1，
即E在⊙O上，
Rt△EFO中，∠AOE=60°，
∴∠FEO=30°，
∴FO=$\frac{1}{2}$EO=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°，
∵∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
∴FD=OF+OD=1，
由勾股定理得：ED=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
即OM+DM的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及軸對稱的最短路徑問題，此類問題的解題思路為：先找到最小值時，動點的位置：即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點；再根據(jù)切線的性質(zhì)和圓的其他性質(zhì)以及勾股定理求出結(jié)論．