Question

3．如圖，在直角坐標系中，直線AB與x、y軸分別交于點A（4，0）、B（0，$\frac{16}{3}$）兩點，∠BAO的角平分線交y軸于點D，點C為直線AB上一點以AC為直徑的⊙G經過點D，且與x軸交于另一點E．
（1）求證：y軸是⊙G的切線．
（2）求出⊙G的半徑；
（3）連結EC，求△ACE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接DG，要證明y軸是⊙G的切線，只需要連接GD后證明GD⊥OB即可．
（2）由（1）可知GD∥OA，則△BDG∽△BOA，設半徑為r后，利用對應邊的比相等列方程即可求出半徑r的值．
（3）連接CE，設OE=a，則AE=4-a，易證△ACE∽△ABO，由相似三角形的性質可得到CE和OE數量關系，再利用勾股定理可求出a的值，進而可求出數△ACE的面積．

解答 解：（1）連接GD，如圖1，
∵∠OAB的角平分線交y軸于點D，
∴∠GAD=∠DAO，
∵GD=GA，
∴∠GDA=∠GAD，
∴∠GDA=∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG=∠BOA=90°，
∵GD為半徑，
∴y軸是⊙G的切線；

（2）∵A（4，0），B（0，$\frac{16}{3}$），
∴OA=4，OB=$\frac{16}{3}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=$\frac{20}{3}$，
設半徑GD=r，則BG=$\frac{20}{3}$-r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴$\frac{DG}{OA}=\frac{BG}{AB}$，
$\frac{20}{3}$r=4（$\frac{20}{3}$-r），
∴r=2.5；

（3）連接CE，如圖2，
∵AC是圓的直徑，
∴∠AEC=∠BOE=90°，
∴CE∥OB，
∴△ACE∽△ABO，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{CE}{OB}$，
設OE=a，則AE=4-a，
∴CE=$\frac{4}{3}$（4-a），
∵CE²+AE²=AC²，
∴$\frac{16}{9}$（4-a）²+（4-a）²=25，
∴a=1或a=7（不合題意，舍去）
∴AE=3，由勾股定理可得CE=4，
∴△ACE的面積=$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

點評 此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、勾股定理的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來，靈活運用．