Question

15．如圖，已知二次函數y=-x²+bx+c（b，c為常數）經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交二次函數于點B，連接BC

（1）求二次函數的解析式及頂點M的坐標；
（2）當過點D的直線l將△ABC分為面積比為1：6的兩部分時，求直線l的解析式；
（3）點P是直線AC上的動點，若△PCM與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A、點C的坐標代入函數解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；
（2）先求得△BAC的面積為6，然后分為l與BC相交和AC相交兩種情況，然后再求得l與BC和AC的交點坐標，最后利用待定系數法求得l的解析式即可；
（3）由題意分析可得∠MCP=90°，則若△PCM與△BCD相似，則要進行分類討論，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對應比值求出點P的坐標即可．

解答 解：（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數y=-x²+bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得b=2，c=4，
∴二次函數解析式為y=-x²+2x+4，配方得y=-（x-1）²+5，
∴點M的坐標為（1，5）．
（2）∵拋物線的對稱為x=1，且點B與點A關于x=1對稱，
∴B（-1，1）．
∴AB=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
如圖1所示：當l與BC相交與點E時，作EF⊥y軸，垂足為F．

∵點D的直線l將△ABC分為面積比為1：6的兩部分時，
∴△BDE的面積=1，則$\frac{1}{2}$BD•DF=1，即$\frac{1}{2}$×1×DF=1，解得：DF=2，
∴FC=1．
∵EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD．
∴$\frac{EF}{DB}$=$\frac{FC}{DC}$，即$\frac{EF}{1}=\frac{1}{3}$．
∴EF=$\frac{1}{3}$．
∴點E的坐標為（-$\frac{1}{3}$，3）．
設直線l的解析式為y=kx+b，將點E和點D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-\frac{1}{3}k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-6，b=1，
∴直線l的解析式為：y=-6x+1．
如圖2所示：當l與AC相交與點E時，作EF⊥AD軸，垂足為F．

∵DC=DA，∠CDA=90°，
∴∠EAF=45°．
∴△AFE為等腰直角三角形．
∵點D的直線l將△ABC分為面積比為1：6的兩部分時，
∴△ADE的面積=1，則$\frac{1}{2}$AD•EF=1，即$\frac{1}{2}$×3×EF=1，解得：EF=$\frac{2}{3}$，
∴AF=$\frac{2}{3}$．
∴點E的坐標為（$\frac{7}{3}$，$\frac{5}{3}$）．
設直線l的解析式為y=kx+b，將點E和點D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{7}{3}k+b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{2}{7}$，b=1．
∴直線l的解析式為：y=$\frac{2}{7}$x+1．
綜上所述，直線l的解析式為y=$\frac{2}{7}$x+1或y=-6x+1．
（3）如圖所示：過點P₁作P1E⊥y軸，垂足為E，過點M作MF⊥y軸，垂足為F．

∵M（1，5），C（0，4），
∴CF=FM=1．
∴△CFM為等腰直角三角形．
∴∠FCM=45°，CM=$\sqrt{2}$．
又∵∠DCA=45°，
∴∠MCA=90°．
當△CMP₁∽△DBC時，$\frac{CM}{C{P}_{1}}=\frac{BD}{CD}$即$\frac{\sqrt{2}}{C{P}_{1}}=\frac{1}{3}$，
∴CP₁=3$\sqrt{2}$．
∴EP₁=CE=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
∴點P₁的坐標為（3，1）．
同理：可知點P₄的坐標為（-3，7）．
當CMP₂∽△DCB時，$\frac{CM}{C{P}_{2}}$=$\frac{DC}{BD}$=3即$\frac{\sqrt{2}}{C{P}_{2}}$=3，
∴CP₂=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴P₂的坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4-$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）即（$\frac{1}{3}$，$\frac{11}{3}$）．
同理：P₃的坐標為（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4+$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）即（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$）．
綜上所述，點P的坐標為（3，1）或（-3，7）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{13}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數的圖象與性質、一次函數解析式及相似三角形性質，解題的關鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結合特殊角的使用來求出點P的坐標．