Question

16．（1）計算：（3-π）⁰+（-$\frac{1}{3}$）^-2+$\sqrt{8}$-2|sin45°-1|；
（2）先化簡，再求值：$（1+\frac{1}{{{m^2}-1}}）÷（m-\frac{m}{m+1}）$，其中實數m使關于x的一元二次方程x²-4x-m=0有兩個相等的實數根．

Answer 1

分析 （1）利用零指數冪、負整數指數冪和特殊角的三角函數值進行計算；
（2）先把括號內通分后進行同分母的減法運算，再把除法運算化為乘法運算，接著約分得到原式=$\frac{1}{m-1}$，然后根據判別式的意義求出m的值，再把m的值代入原式=$\frac{1}{m-1}$中計算即可．

解答 解：（1）原式=1+9+2$\sqrt{2}$-2|$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1）
=10+2$\sqrt{2}$+2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1）
=10+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$-2
=8+3$\sqrt{2}$；
（2）原式=$\frac{{m}^{2}+1-1}{（m+1）（m-1）}$÷$\frac{m（m+1）-m}{m+1}$
=$\frac{{m}^{2}}{（m+1）（m-1）}$•$\frac{m+1}{{m}^{2}}$
=$\frac{1}{m-1}$，
∵一元二次方程x²-4x-m=0有兩個相等的實數根，
∴△=（-4）²-4（-m）=0，
∴m=-4，
當m=-4時，原式=$\frac{1}{-4-1}$=$-\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．也考查了實數的運算和根的判別式．