Question

6．如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從點A出發，沿AB以4cm/s的速度向點B運動，同時點Q從C點出發，沿CA以3cm/s的速度向點A運動，設運動時間為x秒．
（1）當x為何值時，BP=CQ；
（2）以A、P、Q為頂點的三角形能否與以C、Q、B為頂點的三角形相似？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意表示出BP與CQ，由BP=CQ列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）以A、P、Q為頂點的三角形能與以C、Q、B為頂點的三角形相似，分兩種情況考慮：①當△APQ∽△CQB時；②當△APQ∽△CBQ時，由相似得比例求出x的值即可．

解答 解：（1）依題意可得：BP=20-4x，CQ=3x，
當BP=CQ時，20-4x=3x，
∴x=$\frac{20}{7}$（秒），
答：當x=$\frac{20}{7}$秒時，BP=CQ；
（2）以A、P、Q為頂點的三角形能否與以C、Q、B為頂點的三角形相似，
①當△APQ∽△CQB時，有$\frac{AP}{CQ}$=$\frac{AQ}{CB}$，即$\frac{4x}{3x}$=$\frac{30-3x}{20}$，
解得：x=$\frac{10}{9}$（秒）；
②當△APQ∽△CBQ時，有$\frac{AP}{CB}$=$\frac{AQ}{CQ}$，即$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{3x}$，
解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去），
答：當x=$\frac{10}{9}$或x=5秒時，△APQ與△CQB相似．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的性質，一元一次方程的解法，熟練掌握相似三角形的性質是解本題的關鍵．