Question

7．草莓進入采摘旺季，某公司以3萬元/噸的價格向農戶收購了20噸草莓，分揀出甲類草莓x噸，其余為乙類草莓，甲類草莓包裝后直接銷售，乙類草莓深加工后再銷售．甲類草莓的包裝成本為1萬元/噸，根據市場調查，它每噸平均銷售價格y（單位：萬元）與銷售量m（單位：噸）之間的函數關系為y=-x+14（2≤m≤8），乙類草莓深加工（不含進價）總費用S（單位：萬元）與銷售量n（單位：噸）之間的函數關系為S=3n+12，平均銷售價格為9萬元/噸．
（1）請直接寫出該公司，購買和包裝甲類草莓所需資金：4x萬元．
購買和加工乙類草莓所需資金：132-6x萬元
（2）若該公司將這20噸草莓全部售出，獲得的毛利潤為w萬元（毛利潤=銷售總收入-經營成本）
1）求出w關于x的函數關系式；
2）該公司的最小毛利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）甲方式購買和包裝x噸農產品所需資金為：4x萬元；乙方式購買和加工其余農產品所需資金為：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）萬元；
（2）①當2≤x＜8時及當x≥8時，分別求出w關于x的表達式．注意w=銷售總收入-經營總成本=w_A+w_B-3×20；②由①中的函數解析式根據二次函數性質和一次函數的性質可得答案．

解答 解：（1）甲方式購買和包裝x噸農產品所需資金為：4x萬元；
乙方式購買和加工其余農產品所需資金為：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）萬元；
故答案為：4x，（132-6x）；

（2）1）當2≤x＜8時，
w_甲=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
當x≥8時，
w_甲=6x-x=5x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
2）∵當2≤x＜8時，w=-x²+7x+48=-（x-3.5）²+60.25，
∴當x=8時，w_最小=40；
當x≥8時，w=-x+48中w隨x的增大而減小，
∴當x=8時，w_最小=40，
故當x=8時，利潤最小為40萬元．

點評 本題考查了二次函數、一次函數的綜合應用題，解題關鍵是理清售價、成本、利潤三者之間的關系．涉及到分段函數時，注意要分類討論．