Question

2．如圖，正方形ABCB₁中，AB=1，AB與直線l的夾角為30°，延長CB₁交直線l于點A₁，作正方形A₁B₁C₁B₂，延長C₁B₂交直線l于點A₂，作正方形A₂B₂C₂B₃，延長C₂B₃交直線l于點A₃，作正方形A₃B₃C₃B₄，…，依此規律，則A₂₀₁₆A₂₀₁₇=2×3¹⁰⁰⁸．

Answer 1

分析 由四邊形ABCB₁是正方形，得到AB=AB₁，AB∥CB₁，于是得到AB∥A₁C，根據平行線的性質得到∠CA₁A=30°，解直角三角形得到A₁B₁=$\sqrt{3}$，AA₁=2，同理：A₂A₃=2（$\sqrt{3}$）²，A₃A₄=2（$\sqrt{3}$）³，找出規律A_nA_n+1=2（$\sqrt{3}$）ⁿ，答案即可求出．

解答 解：∵四邊形ABCB₁是正方形，
∴AB=AB₁，AB∥CB₁，
∴AB∥A₁C，
∴∠CA₁A=30°，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，AA₁=2，
∴A₁B₂=A₁B₁=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₂=2$\sqrt{3}$，
同理：A₂A₃=2（$\sqrt{3}$）²，
A₃A₄=2（$\sqrt{3}$）³，
…
∴A_nA_n+1=2（$\sqrt{3}$）ⁿ，
∴A₂₀₁₆A₂₀₁₇=2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁶=2×3¹⁰⁰⁸．
故答案為：2×3¹⁰⁰⁸．

點評 本題考查了正方形的性質，含30°直角三角形的性質，平行線的性質的綜合應用，求出后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的$\sqrt{3}$倍是解題的關鍵．