Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，AD‖BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=8cm，BC=14cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動，規定其中一個動點到達端點時，另一個端點也隨之停止運動．
（1）t為何值時，PQ‖CD．
（2）t為何值時，PQ=CD．
（3）若P點的速度是$\frac{3}{2}$cm/s，其余條件不變，問Q點的速度是多少時，PQ垂直平分對角線BD？

Answer 1

分析 （1）由當PQ∥CD時，四邊形PQCD為平行四邊形，可得方程8-t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）根據PQ=CD，一種情況是：四邊形PQCD為平行四邊形，可得方程8-t=3t，一種情況是：四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（8-t）=12時，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（3）當PQ垂直平分對角線BD時，得出四邊形BQDP是菱形，得出BQ=BP=PD=8-$\frac{3}{2}$t，在Rt△ABP中，由勾股定理得出方程，解方程求出t的值，得出BQ=5，求出CQ=9，即可得出Q點的速度．

解答 解：設運動時間為ts，根據題意得：PA=t，CQ=3t，
則PD=AD-PA=8-t．
（1）∵AD∥BC，
即PQ∥CD，
∴當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
即8-t=3t，
解得：t=2，
即當t=2時，PQ∥CD；
（2）若PQ=DC，分兩種情況：
①PQ=DC，則四邊形PQCD是平行四邊形，由（1）可知，t=2，
②PQ=DC，則四邊形PQCD是等腰梯形，則QC=PD+2（BC-AD），
可得方程：3t=8-t+12，
解得：t=5；
綜上所述：t為2s或5s時，PQ=CD．
（3）當PQ垂直平分對角線BD時，連接BP，DQ，
∵PD∥BC，
∴四邊形BQDP是菱形，
∴BQ=BP=PD=8-$\frac{3}{2}$t，
在Rt△ABP中，AP=$\frac{3}{2}$t，AB=4，
由勾股定理得：4²+（$\frac{3}{2}$t）²=（8-$\frac{3}{2}$t）²，
解得：t=2，
∴BQ=8-$\frac{3}{2}$×2=5，
∴CQ=14-5=9，
∴Q點的速度=9÷2=4.5（cm/s），
即Q點的速度是4.5cm/s時，PQ垂直平分對角線BD．

點評 此題是四邊形綜合題目，考查了直角梯形的性質、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定與性質．此題綜合性強，有一定難度，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．