Question

14．如圖，已知△ABC的周長為1，連結△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連結第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，依此類推，則第2016個三角形的周長為（　　）

• A． $\frac{1}{2015}$
• B． $\frac{1}{2016}$
• C． $\frac{1}{{2}^{2015}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{2016}}$

Answer 1

分析 根據三角形的中位線定理，找規律求解，每一條中位線均為其對應的邊的長度的$\frac{1}{2}$，所以新三角形周長是前一個三角形的$\frac{1}{2}$．

解答 解：△ABC周長為1，因為每條中位線均為其對應邊的長度的$\frac{1}{2}$，所以：
第2個三角形對應周長為$\frac{1}{2}$；
第3個三角形對應的周長為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）²；
第4個三角形對應的周長為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）³；
…
以此類推，第n個三角形對應的周長為（$\frac{1}{2}$）^n-1；
所以第2016個三角形對應的周長為（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．
故選：C．

點評 此題考查中位線定理，解決此題關鍵是找出每一個新的三角形周長是上一個三角形周長的$\frac{1}{2}$的規律，進行分析解決題目．