Question

19．如圖，B，C，E三點在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，BD與AC交于點M，AE與CD交于點N．
（1）連接MN，求證：MN∥BE．
（2）若把△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必說明理由）

Answer 1

分析 （2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD，則∠DBC=∠EAC，再證明△BCM≌△ACN（ASA），所以CM=CN，得△CMN是等邊三角形，根據(jù)內(nèi)錯角相等得MN∥BE；
（2）畫出一個反例圖形即可說明．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∠ACD=180°-60°-60°=60°，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC=∠EAC，
在△BCM和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠EAC}\\{BC=AC}\\{∠ACB=∠ACN=60°}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠ACB=60°，
∴MN∥BE；
（2）不成立．請看圖2．當M與A重合時，顯然NM與BE相交，不平行．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會利用反例圖形解決問題，屬于中考常考題型．