Question

13．小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD=2DC，若∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，求AC的長．

小明研究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．
（1）在圖2中，∠ACE的度數(shù)為75°；
（2）求AC的長．
（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點(diǎn)E，AE=2，BE=2ED，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠BAD=75°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算；
（3）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，證明△ABE∽△FDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF、AF，根據(jù)正切的概念求出DF，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，
∴∠ACE=180°-∠CAD-∠E=180°-75°-30°=75°，
故答案為：75；
（2）∵∠E=75°，
∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，BD=2DC，
∴AD=2DE，
∴DE=1，
∴AE=3，
∴AC=3；
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3；
（3）如圖3，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{DF}$=$\frac{BE}{ED}$=2，
∴EF=1，AB=2DF，
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°=$\sqrt{3}$，AD=2DF=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AD=2$\sqrt{3}$，AB=2DF=2$\sqrt{3}$．
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．