Question

2．已知，如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究AC，BC，CD三者的關系．

小明與小青同學合作探究時發現：將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處（如圖①），易證∠CAE為平角，再證△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，從而得出關系．
（1）寫出證明的過程；
（2）嘗試應用：如圖②，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，弧AD與弧DB相等，若AB=13，BC=12，求CD的長．
（3）拓展規律：如圖③，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長（用含m，n的代數式表示）
（4）深化應用：如圖④，∠ACB=90°，AC=BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE=$\frac{1}{3}$AC，CE=CA，點Q為AE的中點，直接寫出線段PQ與AC的數量關系．

Answer 1

分析 （1）先判斷出E、A、C三點共線，再用旋轉的性質得出△CDE是等腰直角三角形，代換即可得出結論；
（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；
（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D₁，由（2）問題可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD₁；又因為CD₁=D₁D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度；
（4）根據題意可知：點E的位置有兩種，分別是當點E在直線AC的右側和當點E在直線AC的左側時，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問的結論進行解答．

解答 解：（1）將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三點共線，
∴∠CAE為平角，
由旋轉知，AE=BC，DE=CD，∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵CE=AE+AC=BC+AC，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD，

（2）連接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，如圖③，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三點共線，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理可求得：AC=5，
∵BC=AE，
∴CE=AE+AC=17，
∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，
即∠EDC=∠ADB=90°，
∵CD=ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D₁，
連接D₁A，D₁B，D₁C，如圖④
由（2）的證明過程可知：AC+BC=$\sqrt{2}$D₁C，
∴D₁C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
又∵D₁D是⊙O的直徑，
∴∠DCD₁=90°，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB²=m²+n²，
∴D₁D²=AB²=m²+n²，
∵D₁C²+CD²=D₁D²，
∴CD=m²+n²-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
∵m＜n，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$；

（4）當點E在直線AC的左側時，如圖⑤，
連接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
點P是AB的中點，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，點Q是AE的中點，
∴∠CQA=90°，
設AC=a，
∵AE=$\frac{1}{3}$AC，
∴AE=$\frac{1}{3}$a，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{6}$a，
由勾股定理可求得：CQ=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
由（2）的證明過程可知：AQ+CQ=$\sqrt{2}$PQ，
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1}{6}$a+$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC；

當點E在直線AC的右側時，如圖⑥，
連接CQ、CP，
同理可知：∠AQC=∠APC=90°，
設AC=a，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{6}$a，
由勾股定理可求得：CQ=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
由（3）的結論可知：PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（CQ-AQ），
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．
綜上所述，線段PQ與AC的數量關系是$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC或$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．

點評 此題圓的綜合題，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判斷和性質，圓周角定理，旋轉的性質等知識點，解本題的關鍵是就利用得出的結論來進行解決問題．