Question

17．閱讀下列材料
我們知道，假分數可以化為帶分數．例如：$\frac{8}{3}$=$2+\frac{2}{3}$=$2\frac{2}{3}$．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．例如：$\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{x^2}{x-1}$這樣的分式就是假分式；$\frac{3}{x+1}$，$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式和的形式）．
例如：$\frac{x-1}{x+1}=\frac{（x+1）-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$；
$\frac{x^2}{x-1}=\frac{{{x^2}-1+1}}{x-1}=\frac{（x+1）（x-1）+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$．
（1）分式$\frac{2}{x}$是真分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）將分式$\frac{x-1}{x+2}$化為帶分式；
（3）若分式$\frac{2x-1}{x+1}$的值為整數，求x的整數值．

Answer 1

分析 （1）根據真分式的定義求解；
（2）利用題中的方法把分子變形為2（x+2）-3，然后寫成帶分式即可；
（3）先把分式化為帶分式，然后利用有理數的整除性求解．

解答 解：（1）分式$\frac{2}{x}$是 真分式；
故答案為真；
（2）$\frac{x-1}{x+2}=\frac{（x+2）-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$； 
（3）$\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2（x+1）-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$；
當$\frac{2x-1}{x+1}$為整數時，$\frac{3}{x+1}$也為整數
所以x+1可取得的整數值為±1、±3．
所以x的可能整數值為0，-2，2，-4．

點評 本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．