Question

12．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條弦．M、N分別是$\widehat{AB}$、$\widehat{AC}$的中點，MN交AB、AC于點E、F．求證：△AEF是等腰三角形．

Answer 1

分析 根據圓心角、弧、弦之間的關系和圓周角定理解答即可．

解答 證明：連接AM和AN，

∵M、N分別是$\widehat{AB}$、$\widehat{AC}$的中點，
∴$\widehat{BM}=\widehat{AM}，\widehat{AN}=\widehat{CN}$，
∵∠MAB和∠AMN的度數和等于$\widehat{AB}和\widehat{AC}$度數和的一半，
∠NAC和∠ANM的度數和等于$\widehat{AB}和\widehat{AC}$度數和的一半，
∴∠MAB+∠AMN=∠NAC+∠ANM，
∵∠AEF=∠MAB+∠AMN，∠AFE=∠NAC+∠ANM，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
即△AEF是等腰三角形．

點評 本題考查了圓心角、弧弦之間的關系，等腰三角形的判定，三角形的外角性質，圓周角定理的應用，能推出∠AEF=∠AFE是解此題的關鍵，難度適中．