Question

4．問題探究：
新定義：
將一個平面圖形分為面積相等的兩個部分的直線叫做該平面圖形的“等積線”，其“等積線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“等積線段”（例如圓的直徑就是圓的“等積線段”）．
解決問題：

已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$．
（1）如圖1，若AD⊥BC，垂足為D，則AD是△ABC的一條等積線段，求AD的長；
（2）在圖2和圖3中，分別畫出一條等積線段，并求出它們的長度．（要求：使得圖1、圖2和圖3中的等積線段的長度各不相等）

Answer 1

分析 （1）根據等積線段的定義，可知點D為線段BC的中點，然后根據題目中的條件可以求得AD的長度；
（2）根據題意可以分別畫出相應的圖形，然后根據相應的圖形分別求出相應的等積線段．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵$AC=2\sqrt{2}$，∠C=45°，AD是△ABC的一條等積線段，
∴點D為線段BC的中點，BC=4，
∴AD=2；
（2）符合題意的圖形如右上角圖2和圖3所示：
如圖2，當BD是△ABC的一條等積線段時，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，BD是△ABC的一條等積線段，
∴點D為AC的中點，
∴AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$；
如圖3，當DE是△ABC的一條等積線段時，此時DE∥BC，
則△ADE的面積等于△ABC面積的一半，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積為：$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{2}=4$，
∴△ADE的面積是2，
設AD=a，
則 $\frac{{a}^{2}}{2}=2$，得a²=4，
∴DE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2{a}^{2}}=\sqrt{2×4}=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定與性質、等腰三角形、新定義、勾股定理，解題的關鍵是明確題目中等積線段的定義，利用數形結合的思想解答問題．